Question

（2013•温州二模）如图，梯形ABCD是直角梯形，∠C=Rt∠，BC∥AD，CD=AD=8，AB=

68

，若点M从点D出发沿DC向终点C运动，点N从点B出发沿BD向终点D运动，点M、N同时出发，且运动速度均为1单位/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动．设运动时间为t，

（1）求BD的长；
（2）连结MN，试求时间t为何值时，使得△DMN为直角三角形？
（3）再连结AN，
①△MDN与△DNA的面积和为S，试求出S与t的函数关系式；
②t=

2秒或

2

5

秒或

10

3

秒

时，以△ADN的一边所在直线为对称轴翻折△ADN，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形．（直接写出答案）

Answer 1

分析：（1）过点B作BH⊥AD于点H，则四边形DHBC为矩形，得出BH=CD=8．在Rt△ABH中，运用勾股定理求出AH=2，则CB=DH=6．然后在Rt△BCD中，运用勾股定理求出BD的长；
（2）在△DMN中，由于∠MDN＜90°，所以△DMN为直角三角形时，分两种情况讨论：①∠DMN=90°；②∠MND=90°；
（3）①过点N作NE⊥CD于E，NF⊥AD于F，过点B作BH⊥AD于点H，由DM=BN=t，得出DN=DB-BN=10-t．根据余弦函数的定义求出EN=

3

5

（10-t），根据正弦函数的定义求出NF=

4

5

（10-t），则S=S_△MDN+S_△DNA=

1

2

DM•EN+

1

2

AD•NF，代入计算即可；
②以△ADN的一边所在直线为对称轴翻折△ADN，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形时，分三种情况讨论：（i）以AN边所在直线为对称轴翻折；（ii）以AD边所在直线为对称轴翻折；（iii）以DN边所在直线为对称轴翻折．

解答：解：（1）如图1，过点B作BH⊥AD于点H，则四边形DHBC为矩形，BH=CD=8．
在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，BH=8，AB=

68

，
∴AH=

( 68 )2-82

=2，
∴CB=DH=AD-AH=8-2=6．
在Rt△BCD中，∵∠C=90°，BC=6，CD=8，
∴BD=

62+82

=10；

（2）∵DM=BN=t，
∴DN=DB-BN=10-t．
在△DMN中，∵∠MDN＜90°，
∴△DMN为直角三角形时，可分两种情况讨论：
①当∠DMN=90°时，如图2①．
∵cos∠MDN=

DM

DN

=

CD

BD

，
∴

t

10-t

=

8

10

，解得t=

40

9

；
②当∠MND=90°时，如图2②．
∵cos∠MDN=

DN

DM

=

CD

BD

，
∴

10-t

t

=

8

10

，解得t=

50

9

．
综上，当t=

40

9

或t=

50

9

时△APQ为直角三角形；

（3）①如图3①，过点N作NE⊥CD于E，NF⊥AD于F，过点B作BH⊥AD于点H．
∵DM=BN=t，
∴DN=DB-BN=10-t．
∵sin∠MDN=

EN

DN

=

BC

BD

，
∴

EN

10-t

=

6

10

，
∴EN=

3

5

（10-t）．
∵sin∠FDN=

NF

DN

=

BH

BD

，
∴

NF

10-t

=

8

10

，
∴NF=

4

5

（10-t）．
∴S=S_△MDN+S_△DNA=

1

2

DM•EN+

1

2

AD•NF
=

1

2

•t•

3

5

（10-t）+

1

2

×8×

4

5

（10-t）
=-

3

10

t²-

1

5

t+32；

②以△ADN的一边所在直线为对称轴翻折△ADN，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形时，分三种情况讨论：
（i）以AN边所在直线为对称轴翻折时，如图3②（i），四边形ADNP为菱形，则DN=AD，
即10-t=8，解得t=2；
（ii）以AD边所在直线为对称轴翻折时，如图3②（ii），四边形APDN为菱形，则DN=AN，
过点N作NE⊥CD于E，NF⊥AD于F，由（3）①知EN=

3

5

（10-t）=DF．
∵DN=AN，NF⊥AD于F，
∴DF=

1

2

AD，
即

3

5

（10-t）=

1

2

×8，
解得t=

10

3

；
（iii）以DN边所在直线为对称轴翻折时，如图3②（iii），四边形ADPN为菱形，连接AP，交DN于O，
则AO⊥DN，DO=

1

2

DN=

1

2

（10-t）．
在Rt△AOD中，∵∠AOD=90°，
∴OD=AD•cos∠ODA=8×

6

10

=

24

5

，
∴

1

2

（10-t）=

24

5

，解得t=

2

5

．
综上可知，t=2秒或

2

5

秒或

10

3

秒时，以△ADN的一边所在直线为对称轴翻折△ADN，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形．
故答案为2秒或

2

5

秒或

10

3

秒．

点评：本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，三角形的面积，轴对称的性质，菱形的性质等知识，综合性较强，有一定难度．运用数形结合及分类讨论是解题的关键．