Question

若n是奇自然数，a₁，a₂，…，a_n是n个互不相同的负整数，则（　　）

A．（a1+1）（a2+2）…（an+n）是正整数

B．（a1-1）（a2-2）…（an-n）是正整数

C．( 1 a1 +1)( 1 a2 +2)…( 1 an +n)是正数

D．(1- 1 a1 )(2- 1 a2 )…(n- 1 an )是正数

Answer 1

a₁，a₂，a_n是n个互不相同的负整数，其中n是奇自然数．
若a₁=-1，a₂=-2，a₃=-3，a_n=-n，时，
（a₁-1）（a₂-2）（a_n-n）=（-2）（-4）（（-6）（-2n）=（-1）ⁿ2×4×6××（2n）＜0（因为n是奇数），故排除B．
若a₁=-1时，a₁+1=0，(

1

a1

+1)=0，
故(

1

a1

+1)(

1

a2

+2)(

1

an

+n)=0，（a₁+1）（a₂+2）…（a_n+n）=0，
排除A、C，故选D．
事实上，若a₁＜0，a₂＜0，a_n＜0，则-

1

a1

＞0，-

1

a2

＞0，-

1

an

＞0，
所以1-

1

a1

＞0，2-

1

a2

＞0，n-

1

an

＞0，
所以(1-

1

a1

)(2-

1

a2

)(n-

1

an

)＞0．
故选D．