Question

（1）求证：关于x的一元二次方程x²+（m-3）x-3m=0一定有两个实数根；
（2）若关于x的方程x²-2x+3k-6=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（3）设题（1）中方程的两根为a、b，若恰有一个直角三角形的三边长分别为2、a、b，试求m的值．

Answer 1

证明：（1）∵x²+（m-3）x-3m=0是关于x的一元二次方程，
∴△=（m-3）2-4×1×（-3m）
=m²+6m+9
=（m+3）²≥0，
∴原方程一定有两个实数根．
（2）△=（2）²-4（3k-6）
=4（2k-3）-12k+24
=-4k+12
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴-4k+12＞0，
∴k＜3；
∵2k-3≥0，
∴k≥，
∴k的取值范围是：
≤k＜3；
（3）x²+（m-3）x-3m=0
（x+m）（x-3）=0
解得：x₁=-m，x₂=3，
∴a=-m，b=3，
∴2²+（-m）²=3²，
m=，
∵a=-m＞0，
∴m＜0，
∴m=-，
2²+3²=（-m）²
m=
∵m＜0，
∴m=-；
∴m的值是：m=-或m=-．
分析：（1）证明一个一元二次方程有两个实数根需要证明△≥0．
（2）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明△＞0即可．△=k²-4×1×（-1）=k²+4，因为k²≥0，可以得到△＞0．
（3）根据（1）中的方程求出x₁和x_{2^{的值，即可得出}}a、b的值，再根据直角三角形三边之间的关系得出m的值．
点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
（1）二次项系数不为零；
（2）在有的实数根的情况下必须满足△=b²-4ac≥0．