Question

唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--将军饮马问题：
如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
作法如下：如（1）图，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AP的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．
（1）观察发现
再如（2）图，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．
作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为

 

．

（2）实践运用
如（3）图，已知⊙O的直径MN=1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值．

（3）拓展迁移
如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
①求这条抛物线所对应的函数关系式；
②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值．（结果保留根号）

Answer 1

分析：（1）根据轴对称中最短路线问题，可以得出AC的长即为BP+AP的最小值，利用三角函数关系求出即可；
（2）根据轴对称中最短路线问题，得出BP′+AP′=BP′+A′P′=A′B，即A′B是BP+AP的最小值，求出即可；
（3）运用待定系数法求二次函数解析式，再求出直线与坐标轴的交点坐标，当AM+CM取最小值时，△ACM周长最小值，求出AM+CM最小值，即可得出．

解答：解：（1）∵在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，
∴∠DAC=∠DCA=30°，
∴∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°，
∴tan∠ACB=

AB

AC

，
∴AC=

2

3 3

=2

3

，
故答案为：2

3

；

（2）如图，作点A关于MN的对称点A′，则A′在⊙O上，
连接BA′交MN于P′点，此时BP′+AP′最小．
由对称性可知AP′=A′P′，
∴BP′+AP′=BP′+A′P′=A′B，
连接OA、OB、OA′，
可知弧AN=弧A′N，
则∠NOA′=∠NOA=2∠M=60°，
而点B为弧AN中点，
∴∠BON=30°
∴∠BOA′=90°
而MN=1，
∴在Rt△OA′B中，A′B=

2

2

即BP+AP的最小值

2

2

．

（3）①∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、
C（0，-3）两点，分别代入二次函数解析式得：
∴

- b 2a =1 a-b+c=0 c=-3

，
解得：a=1，b=-2，c=-3，
∴二次函数解析式为：y=x²-2x-3，
②得到直线BC：y=x-3，
∴M（1，-2），AC的长为：

10

，
∴△ACM周长最小值即是：AM+CM最小时的值，
∵AM+CM=BC=3

2

，
∴△ACM周长最小值为：

10

+3

2

．

点评：此题主要考查了轴对称中最短路线问题以及圆周角定理和二次函数解析式的求法等知识，题目综合性较强，利用轴对称求最小值问题，是近几年中考中热点问题，应该引起同学们的注意．