Question

已知：如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．
（1）求证：AC•BC=BE•CD；
（2）已知CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．

Answer 1

分析：（1）欲证AC•BC=BE•CD，可以证明△ADC∽△ECB得出；
（2）求⊙O的直径BE的长，由AC•BC=BE•CD知，可在Rt△ACD和Rt△BCD中，根据已知条件求出BC，AC的长即可．

解答：（1）证明：连接CE（1分）
∵BE是⊙O的直径
∴∠ECB=90°
∵CD⊥AB
∴∠ADC=90°
∴∠ECB=∠ADC
又∵∠A=∠E（同弧所对的圆周角相等），
∴△ADC∽△ECB（2分）
∴

AC

EB

=

DC

CB

∴AC•BC=BE•CD；（1分）

（2）解：∵CD=6，AD=3，BD=8
∴BC=

BD2+CD2

=

82+62

=10（1分）
∴AC=

AD2+CD2

=

32+62

=3

5

（1分）
∵AC•BC=BE•CD
∴3

5

×10=BE•6
∴BE=5

5

∴⊙O的直径BE的长是5

5

．（2分）

点评：本题考查了同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角及解直角三角形的知识，同时考查了相似三角形的判定和性质，综合性较强．