Question

如图，AB是O的直径，AE交O于点E，且与O的切线CD互相垂直，垂足为D。
（1）求证：∠EAC＝∠CAB；
（2）若CD＝4，AD＝8：①求⊙O的半径；②求tan∠BAE的值。

Answer 1

解：（1）证明：连接OC。
∵CD是⊙O的切线
∴CD⊥OC
又∵CD⊥AE
∴OC∥AE
∴∠1＝∠3
∵OC＝OA
∴∠2＝∠3
∴∠1＝∠2
即∠EAC＝∠CAB
（2）解：①连接BC。
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AE于点D
∴∠ACB＝∠ADC＝90°
∵∠1＝∠2
∴△ACD∽△ABC
∴
∵AC²＝AD²＋CD²＝4²＋8²＝80
∴AB＝＝10
∴⊙O的半径为10÷2＝5。
②连接CF与BF。
∵四边形ABCF是⊙O的内接四边形
∴∠ABC＋∠AFC＝180°
∵∠DFC＋∠AFC＝180°
∴∠DFC＝∠ABC
∵∠2＋∠ABC＝90°， ∠DFC＋∠DCF＝90°
∴∠2＝∠DCF
∵∠1＝∠2
∴∠1＝∠DCF
∵∠CDF＝∠CDF
∴△DCF∽△DAC
∴
∴DF＝=2
∴AF＝AD-DF＝8-2＝6
∵AB是⊙O的直径
∴∠BFA＝90°
∴BF＝＝8
∴tan∠BAD＝。