Question

如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=28cm，BC=28cm，点P从点A开始沿AB边向点B以3cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1cm/s的速度移动，P，Q分别从A，B同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止．过Q作QD∥AB交AC于点D，连接PD，设运动时间为t秒时，四边形BQDP的面积为s．
（1）用t的代数式表示QD的长．
（2）求s关于t的函数解析式，并求出运动几秒梯形BQDP的面积最大？最大面积是多少？
（3）连接QP，在运动过程中，能否使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵在△ABC中，∠B=90°，AB=28cm，BC=28cm，
∴△ABC是等腰直角三角形，
而QD∥AB，
∴DQ=CQ=28-t；

（2）依题意得BP=28-3t，
∴s=[（28-3t）+（28-t）]×t=-2t²+28t，
当t=7秒时，s最大值=98cm²；

（3）存在当PQ=PD时、PQ²=PD²
则t²+（28-3t）²=t²+（2t）²，
∴t=28（舍去），t=5.6
另解：BP=QM=DQ，则28-3t=（28-t），解得t=5.6；
当PQ=DQ时，PQ²=DQ²则t²+（28-3t）²=（28-t）²，
∴t=0或t=（大于．都舍去）；
当QD=PD时，QD²=PD²，
∴（28-t）²=t²+（2t）²
解得t=-7+7或t=-7-7（舍去）；
综上所述当t=5.6或t=-7+7时△DPQ为等腰三角形．
分析：（1）由于在△ABC中，∠B=90°，AB=28cm，BC=28cm，而QD∥AB，由此得到DQ=CQ=28-t；
（2）根据已知条件可以得到BP=28-3t，然后利用梯形的面积公式得到s=[（28-3t）+（28-t）]×t=-2t²+28t，接着利用二次函数的性质可以求出s的最大值；
（3）存在．
当PQ=PD时，PQ²=PD²，根据勾股定理得到t²+（28-3t）²=t²+（2t）²，解方程即可求解；
当PQ=DQ时，PQ²=DQ²，根据勾股定理可以得到t²+（28-3t）²=（28-t）²，解方程即可求解；
当QD=PD时，QD²=PD²，根据勾股定理得到（28-t）²=t²+（2t）²，解方程即可求解．
点评：此题分别考查了相似三角形的性质与判定、二次函数的最值、等腰三角形的性质、梯形的性质及勾股定理，综合性比较强，要求学生有很好的分析问题解决问题的能力才能解决这类问题．