Question

如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为________．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是________．

Answer 1

16    64×（）^n-1
分析：根据E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，可以判断EF、FG、EG为三角形中位线，利用中位线定理求出EF、FG、EG与BC、AB、CA的长度关系即可求得△EFG的周长是△ABC周长的一半，△A′B′C′的周长是△EFG的周长的一半，以此类推，可以求得第n个三角形的周长．
解答：∵如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，
∴EF、FG、EG为三角形中位线，
∴EF=BC，EG=AC，FG=AB，
∴EF+FG+EG=（BC+AC+AB），即△EFG的周长是△ABC周长的一半．
同理，△A′B′C′的周长是△EFG的周长的一半，即△A′B′C′的周长为×64=16．
以此类推，第n个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（）^n-1．
故答案是：64×（）^n-1．
点评：本题考查了三角形中位线定理．此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．