Question

7．重庆市2015中考体育考了立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳、中长跑（女子800米、男子1000米），其中，中长跑成绩不计入总分，但考生必须参加《国家学生体质健康标准》规定的女子800米和男子1000米项目的测试达标后，方能参加其他三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．
为了尽快适应中招体考项目，北关中学初二（1）班委会计划购买跳绳45条以及实心球45个供班上60名同学集体使用，经过了解，发现共需要1350元．
（1）在资费筹集阶段，班委会了解到，跳绳的单价比之前上涨了25%，实心球的单价比之前上涨了50%，这样购买原计划数量的跳绳和实心球就需要1800元，请问跳绳和实心球的最新价格分别是多少元？
（2）在第（1）问的条件下，经初步统计，初二（1）班有25人自愿集资购买跳绳和实心球以供集体使用，那么平均每生需交72元，初三（1）班了解情况后，把体考后闲置的跳绳12条、实心球10个赠送给了初二（1）班．这样初二（10）班只需再购买跳绳33条、实心球35个即可．同时经初二（1）班委会进一步宣传，自愿集资的学生在25人的基础上增加了2a%．相应地，每生平均交费在72元基础上减少了1.25a%，求a的值．

Answer 1

分析 （1）设跳绳的原价为x元，实心球的原价是y元，根据“购买跳绳45条以及实心球45个共需要1350元，购买原计划数量的跳绳和实心球就需要1800元，”列出方程组解答即可；
（2）根据“自愿参与购买的学生在25人的基础上增加了2a%．则每生平均交费在72元基础上减少了1.25a%”列出方程求解即可．

解答 解：设跳绳的原价为x元，实心球的原价是y元，由题意得
$\left\{\begin{array}{l}{45x+45y=1350}\\{45×（1+25%）x+45×（1+50%）y=1800}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=20}\\{y=10}\end{array}\right.$
20×（1+25%）=25
10×（1+50%）=15
答：跳绳的新价为25元，实心球的新价是15元．
（2）根据题意得：25（1+2a%）×72（1-1.25a%）=1350，
则整理得：a²-30a-1000=0，
解得：a=50或a=-30（舍去），
所以a的值是50．

点评 本题考查了一元二次方程的应用及二元一次方程组的应用，解题的关键是从题目中整理出等量关系，列出方程解决问题．