Question

点P是△ABC内一点，PG是BC的垂直平分线，∠PBC=∠A，BP、CP的延长线交AC、AB于D、E，求证：BE=CD．

Answer 1

证明：作BF⊥CE于F点，CM⊥BD于M点
则∠PFB=∠PMC=90°．
∵PG是BC的垂直平分线，∴PB=PC．
在△PBF和△PCM中，
，
∴△PBF≌△PCM（AAS），
∴BF=CM；
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB=∠BPE．
∵∠PBC=∠A，
∴∠A=∠BPE．
∴∠EPD+∠BPE=∠EPD+∠A=180°，
∴∠AEP+∠ADP=180°．
又∠AEP=∠BEF，∠ADP+∠CDM=180°，
∴∠BEF=∠CDM．
在△BEF和△CDM中，
，
∴△BEF≌△CDM（AAS）．
∴BE=CD．
分析：作BF⊥CE于F点，CM⊥BD于M点．证明Rt△BEF≌Rt△CDM．易证Rt△PBF≌Rt△PCM，得到BF=CM；由于∠A=∠BPE，在四边形ADPE中，根据内角和定理可得∠BEF=∠CDM，所以Rt△BEF≌Rt△CDM．得证．
点评：此题考查了垂直平分线性质、全等三角形的判定和性质等知识点，如何构造全等三角形是难点．