Question

如图四边形AOBC是正方形，点C的坐标是（4，0），动点P、Q同时从点O出发，点P沿着折线OACB的方向运动；点Q沿着折线OBCA的方向运动，设运动时间为t．
（1）求出经过O、A、C三点的抛物线的解析式．
（2）若点Q的运动速度是点P的2倍，点Q运动到边BC上，连接PQ交AB于点R，当AR=3时，请求出直线PQ的解析式．
（3）若点P的运动速度为每秒1个单位长度，点Q的运动速度为每秒2个单位长度，两点运动到相遇停止．设△OPQ的面积为S．请求出S关于t的函数关系式以及自变量t的取值范围．
（4）判断在（3）的条件下，当t为何值时，△OPQ的面积最大？

Answer 1

解：（1）设AB、OC相交于点D．
∵四边形ACBO是正方形，
∴OD=CD=OC，OD⊥CD，∠OAD=∠AOC=45°，AB=OC，∠OAC=90°，
∴∠ADC=90°，DO=DA，AB=4，OA=AC=BC=OB=4，
∵OC=4，
∴DO=DA=2，
∴点A（2，2），
设经过O、A、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．由题意得
，
解得：．
故经过O、A、C三点的抛物线的解析式为：y=；

（2）设t秒后点Q运动到边BC上，连接PQ交AB于点R．
∴OP=t，OB+BQ=2t
∴AP=4-t，BQ=2t-4
∵AR=3
∴BR=
∵△ARP∽△BRQ
∴
∴
解得：t=
∴OP=，P（）
BQ=，Q（）
设PQ的解析式为y=kx+b，由题意得

解得：
∴PQ的解析式为：y=；

（3）由题意得
t+2t=16
解得：t=
∴PQ相遇的时间为在整个运动过程中S与t的函数关系式有三种情况：


（4）在（3）的条件下，当t=4时，△OPQ的面积最大．
∴S_△OPQ最大=8
分析：（1）要求经过O、A、C三点的抛物线的解析式，只要求出点A的坐标就可以，并且根据抛物线的对称性可知点A是顶点，所以根据正方形的性质很容易求出点A的坐标，从而解决问题．
（2）要求直线PQ的解析式，根据P、Q的速度关系，利用相似三角形的对应边成比例求出P、Q的坐标，最后利用待定系数法求出其解析式就可．
（3）本问实际上是一个分段函数，P、Q到达不同的位置S与t的解析式是不一样的，Q到达B点时P在OA的中点，Q到达C点时P到达A点，求出P、Q的 相遇时间分3种情况就可以表示出其函数关系式．
（4）通过第（3）问的函数关系式及图形就可以比较或计算出△OPQ的最大面积．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求抛物线的解析式、直线的解析式以及动点问题在函数中的运用．本题难度比较大，是一道综合性较强的试题．