Question

已知：如图，梯形ABCD中AB∥CD，AB=5，BC=4，DC=2，以BC边上的点O为圆心，OD为半径的圆恰好与边AB相切于点B
（1）求⊙O的半径；
（2）AD是否为⊙O的切线？请你作出判断，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB与圆O相切，
∴BC⊥AB，
∵DC∥AB，
∴DC⊥BC，
在Rt△COD中，设OD=OB=x，则OC=BC-OB=4-x，CD=2，
根据勾股定理得：x²=（4-x）²+2²，
解得：x=2.5，
则圆O的半径为2.5；

（2）AD为圆O的切线，理由为：
连接OA，过D作DE⊥AB，可得四边形CDEB为矩形，
则DC=AB=2，DE=CB=4，AE=AB-EB=5-2=3，
∵在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AD==5，
∴AD=AB，
∵在△AOD与△AOB中，
，
∴△AOD≌△AOB（SSS），
∴∠ODA=∠OBA=90°，
则AD为圆O的切线．
分析：（1）由AB与圆相切，得到BC与AB垂直，而CD与AB平行，得到CD与BC垂直，由OB+OC=BC=4，设OB=OD=x，则OC=4-x，再由CD的长，在直角三角形COD中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径；
（2）AD为圆O的切线，理由为：连接OA，过D作DE垂直于AB，可得出DE=BC=4，AE=AB-BE=AB-CD=3，根据勾股定理得到AD=AB=5，再由AO为公共边，OD=OB，利用SSS得到三角形AOD与三角形AOB全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ODA=∠OBA=90°，即可确定出AD为圆的切线．
点评：此题考查了切线的判定与性质，涉及的知识有：勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，利用了方程的思想，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．