Question

在直角坐标系中，抛物线y=x²-2mx+n+1的顶点A在x轴负半轴上，与y轴交于点B，抛物线上一点C的横坐标为1，且AC=3．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）若抛物线上有一点D，使得直线DB经过第一、二、四象限，且原点O到直线DB的距离为，求这时点D的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据题意画出图形，过点C作CE⊥x轴于点E．由抛物线上一点C的横坐标为1，且AC=3，可用mn表示出C点坐标及OE，CE的长，由抛物线的顶点A在x轴负半轴上可得出A点坐标，再由方程有两个相等的实数根及勾股定理即可求出m、n的值，故可得出抛物线的解析式；
（2）直线DB经过第一、二、四象限．设直线DB交x轴正半轴于点F，过点O作OM⊥OB于点M，由点O到直线DB的距离为可得出OM的长，再根据抛物线y=x²+4x+4与y轴交于点B，可得出B点坐标，根据勾股定理求出BM的长，根据相似三角形的判定定理得出△OBF∽△MBO，根据相似三角形的对应边成比例可得出OF=2BO，故可得出F点的坐标，求出直线BF的解析式，再根据点D既在抛物线上，又在直线BF上可联立方程组，求出D点坐标．
解答：解：（1）根据题意画示意图（如图1），过点C作CE⊥x轴于点E．
∵抛物线上一点C的横坐标为1，且AC=3，
∴C（1，n-2m+2），其中n-2m+2＞0，
OE=1，CE=n-2m+2．
∵抛物线的顶点A在x轴负半轴上，
∴A（m，0），其中m＜0，OA=-m，AE=OE+OA=1-m．
∴，
由①，得n=m²-1．③
把③代入②，整理得（m²-2m+1）²+（m²-2m+1）-90=0
（m²-2m+11）（m²-2m-8）=0．
∴m²-2m+11=0，或m²-2m-8=0．
∵△=（-2）²-4×11=-40＜0，
∴方程m²-2m+11=0．没有实数根．
解方程m²-2m-8=0，得m₁=4，m₂=-2．
∵m＜0，
∴m=-2．
把m=-2代入③，得n=3．
∴抛物线的函数解析式为y=x²+4x+4；

（2）解法一：∵直线DB经过第一、二、四象限．
∴设直线DB交x轴正半轴于点F，过点O作OM⊥OB于点M（如图2），
∵点O到直线DB的距离为，
∴OM=
∵抛物线y=x²+4x+4与y轴交于点B，
∴B（0，4）
∴OB=4．
∴BM===，
∵OB⊥OF，OM⊥BF．
∴△OBF∽△MBO．
∴=，
∴=，
∴OF=2BO=8．
∴F（8，0）．
∴直线BF的解析式为y=-x+4，
∵点D既在抛物线上，又在直线BF上，
∴，解得，，
∵DB是直线，
∴D与点B不重合．
∴D（-，），
解法二：过点D作DN⊥y轴于点N，设点D的横坐标为α．
同解法一，得OB=4，BM=，
∵点D在抛物线y=x²+4x+4上，
∴D（α，α²+4α+4），且α＜0，α²+4α+4＞0．
∴DN=-α，ON=α²+4α+4，BN=ON-OB=α²+4α．
∵∠1=∠2，∠3=∠4=90°
∴△DNB∽△OMB，
∴=，
∴=，
整理得2α²+9α=0．解得α₁=0，α₂=-，
∵DB是直线，
∴点D与点B不重合．
∴α=-，此时α²+4α+4=，
∴点D的坐标为（-，）．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式等知识，难度适中．