Question

如图，在正方形ABCD中，AB＝1，弧AC是点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧．点E是边AD上的任意一点(点E与点A、D不重合)，过E作弧AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点： (1) 当∠DEF＝45o时，求证：点G为线段EF的中点； (2) 设AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3) 将△DEF沿直线EF翻折后得△DEF，如图，当EF＝时，讨论△ADD与△EDF是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	证明：∵∠DEF＝45°，得∠DFE＝90°－∠DEF＝45°，∴∠DFE＝∠DEF,∴DE＝DF，又∵AD＝DC，∴AE＝FC．因为AB是圆B的半径，AD⊥AB，所以AD切圆B于点A；同理，CD切圆B于点C，又因为EF切圆B于点G，所以AE＝EG,FC＝FG，因此EG＝FG，即点G为线段EF的中点．
(2)	解：∵EG＝AE＝x，FG＝CF＝y，∴ED＝1－x，FD＝1－y，在Rt△DEF中，由ED2＋FD2＝EF2，得(1－x)2＋(1－y)2＝(x＋y)2，∴y＝(0＜x＜1)．
(3)	解：当EF＝时，由(2)得EF＝EG＋FG＝AE＋FC＝x＋＝．得x1＝或x2＝，即AE＝或AE＝．①当AE＝时，△AD1D∽△ED1F，明如下：设直线EF交线段DD1于点H，如图，据题意，△EDF≌△ED1F；EF⊥DD1且DH＝D1H．∵AE＝，AD＝1，得AE＝AD，∴EH∥AD1，∴∠D1AD＝∠FED＝∠FED1，∠ADD1＝∠EHD＝90°．又∵∠ED1F＝∠EDF＝90°，∴∠ED1F＝∠AD1D,∴△AD1D∽△ED1F，②当AE＝时，△AD1D与△ED1F不相似．