Question

6．等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E落在了AD上，连接CE，将线段EC绕点E顺时针旋转一定的角度，使得点C落在了点F处，且满足∠CEF=∠CAB，连接BF．

（1）若∠BAC=60°（如图1），则线段AE与BF的数量关系为AE=BF；
（2）若∠BAC=90°（如图2），求证：BF=$\sqrt{2}$AE；（写出证明过程）
（3）在（2）的条件下（备用图），连接FD并延长分别交CE、CA于点M、N，BC=8，$FD=\sqrt{10}DE$，求△CMN的面积．

Answer 1

分析 （1）连接CF，通过判定△ACE≌△BCF，利用全等三角形的性质可得出结论；
（2）连接CF，通过判定△ACE∽△BCF，利用相似三角形的性质可得出结论；
（3）先过点F作FG⊥BC于G，连接GE，过N作NH∥AD，根据已知条件推导出FD与GD的数量关系，在直角三角形DGF中运用勾股定理求得DG的长，进而得到CN、AN、DE、AE的长，最后根据平行线分线段成比例定理，求得MN与DM的数量关系，再根据等高三角形的面积关系，求得△CMN的面积．

解答 解：（1）连接CF，
当∠BAC=60°时，由AB=AC，可得△ABC是等边三角形，
∵∠CEF=∠CAB=60°，CE=FE，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠ACB=∠ECF=60°，
∴∠ACE=∠BCF，
在△ACE和△BCF中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCF}\\{CE=CF}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF；

（2）连接CF，
当∠BAC=90°时，由AB=AC，可得△ABC是等腰直角三角形，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∵∠CEF=∠CAB=90°，CE=FE，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴$\frac{EC}{FC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，且∠ACB=∠ECF=45°，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{EC}{FC}$，∠ACE=∠BCF，
∴△ACE∽△BCF，
∴$\frac{BF}{AE}$=$\frac{BC}{AC}$=$\sqrt{2}$，
即BF=$\sqrt{2}$AE；

（3）过点F作FG⊥BC于G，连接GE，
由（2）可得∠FBC=∠EAC=45°，
∴△BGF是等腰直角三角形，
∴BG=FG，且BF=$\sqrt{2}$BG，
又∵BF=$\sqrt{2}$AE，
∴BG=AE，
∵等腰直角三角形ABC中，AD=BD=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴DG=DE，
∵$FD=\sqrt{10}DE$，
∴FD=$\sqrt{10}$DG，
设DG=x，则GF=GB=4-x，DF=$\sqrt{10}$x，
∴Rt△DGF中，x²+（4-x）²=（$\sqrt{10}$x）²，
解得x₁=1，x₂=-$\frac{1}{2}$（舍去），
∴DG=DE=1，
∴AD=BG=FG=4-1=3，
∴BF=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
由∠FBC=∠ACD=45°，BD=CD，∠BDF=∠CDN，可得△BDF≌△CDN（ASA），
∴BF=CN=3$\sqrt{2}$，
∵Rt△ACD中，AC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴AN=$\sqrt{2}$，
∴△DCN的面积=$\frac{3}{4}$×△ACD的面积=$\frac{3}{4}$×8=6，
过N作NH∥AD，交CE于H，
∴$\frac{NH}{AE}=\frac{CN}{CA}$，即$\frac{NH}{3}=\frac{3}{4}$，
∴NH=$\frac{9}{4}$，
由NH∥AD，可得$\frac{MN}{MD}=\frac{NH}{DE}$，即$\frac{MN}{MD}=\frac{9}{4}$，
∴△CMN的面积=$\frac{9}{13}$×△DCN的面积=$\frac{9}{13}$×6=$\frac{54}{13}$．

点评 本题以旋转为背景考查了全等三角形与相似三角形，难度较大，需要综合运用全等三角形判定与性质以及相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形．解题时注意：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．