Question

3．生产某产品要经过三道工序．同一个人在完成这三道工序时所用的时间相同．甲、乙二人同时开始生产，一段时间后，甲恰好完成第k个产品的生产，此时，乙正好在进行某个产品的第一道工序的操作．若甲、乙的生产效率比是6：5．则此时乙至少生产了多少产品？

Answer 1

分析 设出甲生产一个产品所用的时间为t，得出乙生产一个产品所用的时间为$\frac{6}{5}$t． 进而得出甲生产k个产品时乙生产的产品数量的范围，再找规律得出满足以0＜{$\frac{5k}{6}$}＜$\frac{1}{3}$的最小的k的值是5，即可得出结论．

解答 解：设甲生产一个产品所用的时间为t，则乙生产一个产品所用的时间为$\frac{6}{5}$t． 
用[a]表示不大于a的最大整数，{a}=a-[a]，如[3.14]=3，{3.14}=0.14，
甲生产k个产品所用的时间为kt，此时乙生产了[$\frac{kt}{\frac{6}{5}t}$]=[$\frac{5k}{6}$]个产品 
由题知，乙正在进行某个产品的第一道工序的操作，
所以 0＜{$\frac{5k}{6}$}＜$\frac{1}{3}$，
∴{$\frac{5k}{6}$}的可能取值为：$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{6}$，0，
当k=1时，{$\frac{5k}{6}$}的值为$\frac{5}{6}$，当k=2时，{$\frac{5k}{6}$}的值为$\frac{2}{3}$，当k=3时，{$\frac{5k}{6}$}的值为$\frac{1}{2}$，
当k=4时，{$\frac{5k}{6}$}的值为$\frac{1}{3}$，当k=5时，{$\frac{5k}{6}$}的值为$\frac{1}{6}$，当k=6时，{$\frac{5k}{6}$}的值为0，
当k=7时，{$\frac{5k}{6}$}的值为$\frac{5}{6}$，当k=8时，{$\frac{5k}{6}$}的值为$\frac{2}{3}$，当k=时9，{$\frac{5k}{6}$}的值为$\frac{1}{2}$，
当k=10时，{$\frac{5k}{6}$}的值为$\frac{1}{3}$，当k=11时，{$\frac{5k}{6}$}的值为$\frac{1}{6}$，当k=12时，{$\frac{5k}{6}$}的值为0，?
…
由以上数据得出，满足以0＜{$\frac{5k}{6}$}＜$\frac{1}{3}$的最小的k的值是5，
因此，乙至少已经生产了[$\frac{5×5}{6}$]=4个产品．

点评 此题是推理与论证的题目，主要考查了一个数的不大于它的最大整数的确定，寻找规律，解本题的关键是确定出0＜{$\frac{5k}{6}$}＜$\frac{1}{3}$．是一道很好的推理题目．