Question

4．如图，△ABC在第一象限，其面积为8．点P从点A出发，沿△ABC的边从A-B-C-A运动一周，在点P运动的同时，作点P关于原点O的对称点Q，再以PQ为边作等边三角形PQM，点M在第二象限，点M随点P运动所形成的图形的面积为24．

Answer 1

分析 设M点对应的A，B，C的点分别为M_a，M_b，M_c，由△M_bQ_bB是等边三角形，得出M_bO=$\sqrt{3}$OB，同理M_cO=$\sqrt{3}$OC，又因∠COB=∠M_cOM_b，得出△M_cOM_b∽△COB，得出M_bM_c=$\sqrt{3}$BC，同理，M_aM_b=$\sqrt{3}$AB，M_aM_c=$\sqrt{3}$AC，所以△M_aM_bM_c的面积是△ABC的3倍．求出点M随点P运动所形成的图形的面积为24．

解答 解：如图，∵点P从点A出发，沿△ABC的边从A-B-C-A运动一周，且点Q关于原点O与点P对称，
∴点Q随点P运动所形成的图形是△ABC关于O的中心对称图形，
以PQ为边作等边△PQM，M点对应的A，B，C的点分别为M_a，M_b，M_c，
∵△M_bQ_bB是等边三角形，
∴M_bO=$\sqrt{3}$OB，
同理M_cO=$\sqrt{3}$OC，
∴$\frac{{M}_{b}O}{BO}$=$\frac{{M}_{c}O}{CO}$=$\sqrt{3}$，
∵∠COB+∠BOM_c=90°，∠M_cOM_b+∠BOM_c=90°
∴∠COB=∠M_cOM_b，
∴△M_cOM_b∽△COB，
∴M_bM_c=$\sqrt{3}$BC，
同理，M_aM_b=$\sqrt{3}$AB，M_aM_c=$\sqrt{3}$AC，
∴△M_aM_bM_c的面积=$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$×8=24，
即点M随点P运动所形成的图形的面积为24．
故答案为：24．

点评 本题主要考查了轨迹，轴对称的性质以及等边三角形的性质，解题的关键是找出△M_aM_bM_c与△ABC边长的关系．