Question

5．如图①，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，将矩形沿OB折叠，点A落在点D处，OD交CB于点E，点B的坐标（8，4）．

（1）求S_△OEB；
（2）求点D的坐标；
（3）如图②，点Q在边OA上，OQ=5，点P是边CB上一个动点，其他条件不变，若△OQP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质、翻转变换的性质得到OE=BE，设BE=x，根据勾股定理列方程，解方程求出BE，根据三角形的面积公式计算即可；
（2）作DG⊥OA于G，交CB于F，根据三角形的面积公式求出DF，根据勾股定理求出EF，得到点D的坐标；
（3）分OP=OQ、OP=PQ、OQ=QP三种情况，根据等腰三角形的性质计算．

解答 解：（1）由翻转变换的性质可知，∠DOB=∠AOB，
∵BC∥OA，
∴∠CBO=∠AOB，
∴∠DOB=∠CBO，
∴OE=BE，
设BE=x，则CE=8-x，OE=BE=x，
∵4²+（8-x）²=x²，
∴x=5，即BE=5，
S_△OEB=$\frac{1}{2}BE•OC$=$\frac{1}{2}×5×4=10$；
（2）如图（1），作DG⊥OA于G，交CB于F，则DF⊥CB，
∵OE=BE=5，
∴CE=DE=3，
由勾股定理得，DB=$\sqrt{B{E}^{2}-D{E}^{2}}$=4，
$\frac{1}{2}$×DE×DB=$\frac{1}{2}$×BE×DF，
解得，DF=$\frac{12}{5}$，
由勾股定理得EF=$\frac{9}{5}$，
则CF=3+$\frac{9}{5}$=$\frac{24}{5}$，$DG=\frac{12}{5}+4=\frac{32}{5}$，
∴点D的坐标为（$\frac{24}{5}$，$\frac{32}{5}$）；
（3）当OP=OQ时，CP=$\sqrt{O{P}^{2}-O{C}^{2}}$=3，
则点P的坐标为（3，4），
当PO=PQ时，作PH⊥OA于H，
则OH=$\frac{1}{2}$OQ=2.5，
∴点P的坐标为（2.5，4），
当QO=QP时，点P的坐标为（2，4）或（8，4），
∴△OQP是等腰三角形，点P的坐标为（3，4），（2.5，4）（2，4），（8，4）．

点评 本题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，掌握相关的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．