Question

矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE，点P是AE上的一点，且BP=BE，连接B′P．
（1）求B′D的长；
（2）求证：四边形BPB′E的形状为菱形；
（3）若在折痕AE上存在一点到边CD的距离与到点B的距离相等，请直接写出此相等距离的值．

Answer 1

（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
由折叠的性质可得：AB′=AB=5，
在Rt△ADB′中，B′D==3；

（2）证明：由折叠的性质可得：BP=B′P，BE=B′E，
∵BP=BE，
∴BP=B′P=B′E=BE，
∴四边形BPB′E的形状为菱形；

（3）存在．
∵四边形BPB′E的形状为菱形，
∴BE∥B′P，BP=B′P，
∴BC⊥CD，
∴B′P⊥CD，
∴点P到边CD的距离与到点B的距离相等，
设BP=x，
则B′E=x，
∵B′C=CD-B′D=5-3=2，CE=BC-BE=4-x，
在Rt△B′CE中，B′E²=CE²+B′C²，
∴x²=（4-x）²+2²，
解得：x=2.5，
∴此相等距离的值为2.5．
分析：（1）由折叠的性质，可得AB′=AB=5，又由矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4，根据勾股定理即可求得B′D的长；
（2）由BP=BE与折叠的性质，即可证得BP=B′P=B′E=BE，则可得四边形BPB′E的形状为菱形；
（3）由四边形BPB′E的形状为菱形，可得点P到边CD的距离与到点B的距离相等，然后设BP=x，由勾股定理可得：x²=（4-x）²+2²，解此方程即可求得答案．
点评：此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及菱形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．