Question

将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中（如图），若斜边所在的直线为y=-2x+4，点B'是OA上的动点，折叠直角三角形纸片OAB，使折叠后点B与点B'重合，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D。
（1）若B'与点O重合，直接写出点C、D的坐标；
（2）若B'与点A重合，求点C、D的坐标；
（3）若B'D∥OB，求点C、D的坐标。

Answer 1

解：（1）C（0，2） ， D（1，2）；
（2）由y=-2x+4求得B（0，4），A（0，2）， 如图①，折叠后点B与点A重合， 则△ACD≌△BCD，BD=DA， 由（1）得D的坐标为（1，2）， 设点C的坐标为（0，m）（m＞0）， 则BC=OB-OC=4-m， 于是AC=BC=4-m， 在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2=OC2+OA2， 即（4-m）2=m2+22， 解得， ∴点C的坐标为，D的坐标为（1，2）；
（3）如图②，折叠后点B落在OA边上的点为B'， 且B'D∥OB， 则△B'CD≌△BCD，∠OCB'=∠CB'D， 又∵∠CBD=∠CB'D， ∴∠OCB'=∠CBD， 有CB'∥BA， ∴Rt△COB'∽Rt△BOA， 有， 得OC=2OB'， 在Rt△B'OC中， 设OB'=x0（x＞0），则OC=2x0， 则B'C=BC=OB-OC=4-2x0， 在Rt△B'OC中，由勾股定理，得B'C2=OC2+OB'2， ∴（4-2x0）2=（2x0）2+x02， 得x20+16x0-16=0， 解得， ∵x0＞0， ∴， ∴点C的坐标为， ∵B'D∥OB， 则可得点D的横坐标为， 设点D的纵坐标为n， ∵点D在直线y=-2x+4上， ∴， ∴点D的坐标为。