Question

1．如图，已知，点A（0，0）、B（4$\sqrt{3}$，0）、C（0，4），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA₁B₁，第2个△B₁A₂B₂，第3个△B₂A₃B₃，…则第2017个等边三角形的边长等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2015}}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2016}}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2017}}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2019}}$

Answer 1

分析 根据题目已知条件可推出，AA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OC，B₁A₂=$\frac{1}{2}$A₁B₁，依此类推，第n个等边三角形的边长等于$\frac{1}{{2}^{n}}$×4$\sqrt{3}$，于是得到结论．

解答 解：如图，∵点C（0，4），∠ABC=30°，
∴OB=4$\sqrt{3}$．
∴BC=8，
∴∠OBC=30°，∠OCB=60°．
而△AA₁B₁为等边三角形，∠A₁AB₁=60°，
∴∠COA₁=30°，则∠CA₁O=90°．
在Rt△CAA₁中，AA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OC=2$\sqrt{3}$．
同理得：B₁A₂=$\frac{1}{2}$A₁B₁=$\frac{1}{{2}^{2}}$×4$\sqrt{3}$，
依此类推，第n个等边三角形的边长等于$\frac{1}{{2}^{n}}$×4$\sqrt{3}$，
∴第2017个等边三角形的边长等于$\frac{1}{{2}^{2017}}$×4$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2015}}$，
故选：A．

点评 本题主要考查等边三角形的性质及解直角三角形，从而归纳出边长的规律是解题的关键．