Question

3．如图，∠AOB=30°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P、Q分别是边OB，OA上的动点，记∠AMP=∠1，∠ONQ=∠2，当MP+PQ+QN最小时，则关于∠1，∠2的数量关系正确的是（　　）

• A． ∠1+∠2=90°
• B． 2∠2-∠1=30°
• C． 2∠1+∠2=180°
• D． ∠1-∠2=90°

Answer 1

分析 如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，根据外角的性质得到∠1=∠O+∠OPM，∠OPM=∠1-∠O=∠1-30°，由轴对称的性质得到∠OPM=∠OPM′，∠OPM′=∠QPN，于是得到∠QPN=∠1+30°，由于∠3=∠O+∠2=30°+∠2，∠NQN′=∠QPN+∠2=∠1-30°+∠2，∠NQN′=2∠3，即可得到结论．

解答 解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
∵∠1=∠O+∠OPM，
∴∠OPM=∠1-∠O=∠1-30°，
∵∠OPM=∠OPM′，∠OPM′=∠QPN，
∴∠QPN=∠PQO+30°
∵∠3=∠O+∠2=30°+∠2，∠NQN′=∠QPN+∠2=∠1-30°+∠2，∠NQN′=2∠3，
∴∠1-30°+∠2=2（30°+∠2），
∴∠1-∠2=90°．
故选D．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的外角的性质，正确的作出图形是解题的关键．