Question

抛物线y=

1

2

x²+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）先把A点坐标为（-1，0）代入抛物线y=

1

2

x²+bx-2即可求出b的值，进而可求出抛物线的解析式，再由抛物线的顶点式即可求出其顶点坐标；
（2）由两点间的距离公式分别求出AC，BC，AB的长，再根据勾股定理即可判断出△ABC的形状．

解答：解：（1）A点坐标为（-1，0）代入抛物线y=

1

2

x²+bx-2得，
0=

1

2

×（-1）²-b-2，解得b=-

3

2

，
∴原抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
∴x=

3

2

，y=-

25

8

，
∴D点坐标为：（

3

2

，-

25

8

）；

（2）∵AC=

5

，BC=2

5

，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：y=

1

2

x²-

3

2

x-2，（

3

2

，-

25

8

），△ABC是直角三角形．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题及勾股定理的逆定理，熟知坐标轴上各点坐标的特点及两点间的距离公式是解答此题的关键．