Question

如图，抛物线y=

4

9

x²-

8

3

x-12与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点．
（1）求△AOB的外接圆的面积；
（2）若动点P从点A出发，以每秒2个单位沿射线AC方向运动；同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位沿射线BA方向运动，当点P到达点C处时，两点同时停止运动．问当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似？
（3）若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N．
①是否存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②当点M运动到何处时，四边形CBNA的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形CBAN面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）将y=0代入y=

4

9

x²-

8

3

x-12，解方程

4

9

x²-

8

3

x-12=0，求出x的值，得到A，C的坐标；将x=0代入y=

4

9

x²-

8

3

x-12，求出y的值，得到B点坐标，在直角△AOB中运用勾股定理求出AB的长，则△AOB的外接圆的半径为

1

2

AB，根据圆的面积公式求解即可；
（2）以A、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似时，由于∠PAQ=∠OAB，所以分两种情况进行讨论：①△APQ∽△AOB；②△AQP∽△AOB；根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求解即可；
（3）先运用待定系数法求出直线AB的解析式为y=

4

3

x-12，再设点M的横坐标为x，则M（x，

4

3

x-12），N（x，

4

9

x²-

8

3

x-12）．
①若四边形OMNB为平行四边形，根据平行四边形的性质得出MN=OB=12，据此列出方程（

4

3

x-12）-（

4

9

x²-

8

3

x-12）=12，由判别式△＜0即可判断出不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形；
②由于S_{四边形CBNA}=S_△ACB+S_△ABN，而S_△ACB=72为定值，所以当S_△ABN最大时，S_{四边形CBNA}最大．根据S_△ABN=S_△OBN+S_△OAN-S_△AOB，计算得出S_△ABN=-2x²+18x=-2（x-

9

2

）²+

81

2

，根据二次函数的性质得出当x=

9

2

时，S_△ABN有最大值

81

2

，进而求出此时点M的坐标及四边形CBAN面积的最大值．

解答：解：（1）∵y=

4

9

x²-

8

3

x-12，
∴当y=0时，

4

9

x²-

8

3

x-12=0，解得x=9或-3，
∴A（9，0），C（-3，0）；
当x=0时，y=-12，
∴B（0，-12），
∴OA=9，OB=12，∴AB=15，
∴S=π•（

15

2

）²=

225

4

π；

（2）∵AP=2t，BQ=t，∴AQ=15-t，
∵A（9，0），C（-3，0），∴AC=12，
∴0≤t≤6．
以A、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似时，分两种情况：
①若△APQ∽△AOB，则

AP

AO

=

AQ

AB

，
即

2t

9

=

15-t

15

，解得t=

45

13

；
②若△AQP∽△AOB，则

AP

AB

=

AQ

AO

，
即

2t

15

=

15-t

9

，解得t=

75

11

＞6（舍去），
∴当t=

45

13

时，以A、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似；

（3）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（9，0），B（0，-12），
∴

9k+b=0 b=-12

，解得

k= 4 3 b=-12

，
∴直线AB的函数关系式为y=

4

3

x-12．
设点M的横坐标为x，则M（x，

4

3

x-12），N（x，

4

9

x²-

8

3

x-12）．
①若四边形OMNB为平行四边形，则MN=OB=12，
即（

4

3

x-12）-（

4

9

x²-

8

3

x-12）=12，
整理，得x²-9x+27=0，
∵△=81-101＜0，
∴此方程无实数根，
∴不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形；

②∵S_{四边形CBNA}=S_△ACB+S_△ABN=

1

2

×12×12+S_△ABN=72+S_△ABN，
∵S_△AOB=

1

2

×12×9=54，S_△OBN=

1

2

×12•x=6x，S_△OAN=

1

2

×9×（-

4

9

x²+

8

3

x+12）=-2x²+12x+54，
∴S_△ABN=S_△OBN+S_△OAN-S_△AOB=6x+（-2x²+12x+54）-54=-2x²+18x=-2（x-

9

2

）²+

81

2

，
∴当x=

9

2

时，S_△ABN有最大值

81

2

，
此时M（

9

2

，-6），四边形CBAN面积的最大值为：72+

81

2

=

225

2

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的外接圆，相似三角形的性质，一元二次方程根的判别式，平行四边形的性质，三角形、四边形的面积求法，二次函数的最值．综合性较强，有一定难度．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．