Question

已知关于x的方程4x²-4（k+1）x+k²+1=0的两实根x₁、x₂满足：|x₁|+|x₂|=2，试求k的值．

Answer 1

分析：根据一元二次方程根与系数的关系可以得出x₁•x₂=

1

4

（k²+1）＞0，即x₁与x₂同号，因而可以根据两根是正数或负数，
先分类讨论去绝对值，根与系数的关系，已知两根的和是k+1，求出k的值，然后根据根的判别式进行取舍．

解答：解：解法一：依题意，x₁•x₂=

1

4

（k²+1）＞0，
∴x₁与x₂同号，
（1）当x₁＞0，x₂＞0时，有x₁+x₂=2，即k+1=2，k=1．
（2）当x₁＜0，x₂＜0时，有-（x₁+x₂）=2，即k+1=-2，k=-3．
△=[-4（k+1）]²-16（k²+1）=32k，
当k=-3时，△＜0舍去．
所以，满足题意的k的值为1．
解法二：依题意，△=[-4（k+1）]²-16（k²+1）=32k≥0，即k≥0，
于是x₁+x₂=k+1＞0，
又x₁•x₂=

1

4

（k²+1）＞0，
∴x₁＞0，x₂＞0，
由|x₁|+|x₂|=2，得x₁+x₂=2，
k+1=2，解得k=1．
所以，满足题意的k的值为1．

点评：解决本题的关键是依据一元二次方程的根与系数的关系，首先确定两个根同号是解题关键．