Question

（2012•柳州）如图，在△ABC中，AB=2，AC=BC=

5

．
（1）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图，请你分别写出A、B、C三点的坐标；
（2）求过A、B、C三点且以C为顶点的抛物线的解析式；
（3）若D为抛物线上的一动点，当D点坐标为何值时，S_△ABD=

1

2

S_△ABC；
（4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与x轴交于点A′B′，与y轴交于点C′，当平移多少个单位时，点C′同时在以A′B′为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料）．
 
附：阅读材料
一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元二次方程求解．如解方程：y⁴-4y²+3=0．
解：令y²=x（x≥0），则原方程变为x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3．
当x₁=1时，即y²=1，∴y₁=1，y₂=-1．
当x₂=3，即y₂=3，∴y₃=

3

，y₄=-

3

．
所以，原方程的解是y₁=1，y₂=-1，y₃=

3

，y₄=-

3

．
再如x²-2=4

x2-2

，可设y=

x2-2

，用同样的方法也可求解．

Answer 1

分析：（1）根据y轴是AB的垂直平分线，则可以求得OA，OB的长度，在直角△OBC中，利用勾股定理求得OC的长度，则A、B、C的坐标即可求解；
（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（3）首先求得△ABC的面积，根据S_△ABD=

1

2

S_△ABC，以及三角形的面积公式，即可求得D的纵坐标，把D的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得横坐标．
（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤1，可以写出平移以后的函数解析式，当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有：OC′²=OA′•OB′，据此即可得到一个关于c的方程求得c的值．

解答：解：（1）∵AB的垂直平分线为y轴，
∴OA=OB=

1

2

AB=

1

2

×2=1，
∴A的坐标是（-1，0），B的坐标是（1，0）．
在直角△OBC中，OC=

BC2-OB2

=2，
则C的坐标是：（0，2）；

（2）设抛物线的解析式是：y=ax²+b，
根据题意得：

a+b=0 b=2

，
解得：

a=-2 b=2

，
则抛物线的解析式是：y=-2x²+2；

（3）∵S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×2×2=2，
∴S_△ABD=

1

2

S_△ABC=1．
设D的纵坐标是m，则

1

2

AB•|m|=1，
则m=±1．
当m=1时，-2x²+2=1，解得：x=±

2

2

，
当m=-1时，-2x²+2=-1，解得：x=±

6

2

，
则D的坐标是：（

2

2

，1）或（-

2

2

，1）或（

6

2

，-1），或（-

6

2

，-1）．

（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤1，OA′=1-c，OB′=1+c．
平移以后的抛物线的解析式是：y=-2（x-c）²+b．
令x=0，解得y=-2c²+2．即OC′=-2c²+2．
当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有：OC′²=OA′•OB′，
则（-2c²+2）²=（1-c）（1+c），
即（4c²-3）（c²-1）=0，
解得：c=

3

2

，-

3

2

（舍去），1，-1（舍去）．
故平移

3

2

或1个单位长度．

点评：本题考查了勾股定理，待定系数法求二次函数的解析式，以及图象的平移，正确理解：当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有：OC′²=OA•OB，是解题的关键．