Question

17．探究：研究表明，一元二次方程的根与系数有如下关系：设x₁、x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实数根，则有x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．
设x₁、x₂是一元二次方程2x²-3x-1=0的两个实数根，请你利用上述关系式，完成下列各题（不必解方程）：
（1）x₁+x₂=$\frac{3}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$．
（2）利用（1）中的结果，求下列代数式的值（要求简要的写出计算过程）．
①$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$                       ②x₁²+x₂²．

Answer 1

分析 （1）利用根与系数的关系求出所求式子值即可；
（2）原式各项变形后，将（1）的结果代入计算即可求出值．

解答 解：（1）∵x₁、x₂是一元二次方程2x²-3x-1=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=$\frac{3}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$；
故答案为：$\frac{3}{2}$；-$\frac{1}{2}$；
（2）①原式=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-3；②原式=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=$\frac{9}{4}$+1=$\frac{13}{4}$．

点评 此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系式是解本题的关键．