Question

19．如图，已知抛物线经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值和△BNC的面积；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）先求直线BC的解析式，表示出M、N两点的坐标，利用纵坐标的差计算MN的长即可；
（3）根据面积公式得：S_△BNC=S_△CMN+S_△MNB=$\frac{1}{2}$|MN|•|OB|，OB的长是定值为3，所以MN的最大值即为面积的最大值，求MN所表示的二次函数的最值即可．

解答 解：（1）∵抛物线经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，
∴设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入得：3=a（0+1）（0-3），
a=-1，
∴y抛物线的解析式：y=-x²+2x+3；
（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B（3，0），C（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∴M（m，-m+3），
又∵MN⊥x轴，
∴N（m，-m²+2m+3），
∴MN=（-m²+2m+3）-（-m+3）=-m²+3m（0＜m＜3）；
（3）存在，
S_△BNC=S_△CMN+S_△MNB=$\frac{1}{2}$|MN|•|OB|，
∴当|MN|最大时，△BNC的面积最大，
MN=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
当m=$\frac{3}{2}$时，MN的有最大值为$\frac{9}{4}$，
所以当m=$\frac{3}{2}$时，△BNC的面积最大为$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$×3=$\frac{27}{8}$．

点评 本题是二次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，并利用铅直高度与水平宽度的积求三角形的面积，同时要熟练掌握二次函数的最值的求法．