Question

关于x的一元二次方程（m-1）x²-2mx+m+1=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数．

Answer 1

考点：根的判别式,一元二次方程的定义

专题：

分析：（1）表示出根的判别式，得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；
（2）由（1）得到方程有两个不相等的实数根，利用求根公式表示出方程的两根：x₁=

m+1

m-1

，x₂=1，要使原方程的根是整数，必须使得x₁=

m+1

m-1

=1+

2

m-1

为正整数，则m-1=1或2，进而得出符合条件的m的值．

解答：解：（1）∵△=b²-4ac=（-2m）²-4（m-1）（m+1）=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；

（2）由求根公式，得x=

2m±2

2(m-1)

，
∴x₁=

2m+2

2(m-1)

=

m+1

m-1

，x₂=

2m-2

2(m-1)

=1；
∵m为整数，且方程的两个根均为正整数，
∴x₁=

m+1

m-1

=1+

2

m-1

，必为正整数，
∴m-1=1或2，
∴m=2或m=3．

点评：此题考查了根的判别式，以及求根公式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．