Question

如图（1），一正方形纸板ABCD的边长为4，对角线AC、BD交于点O，一块等腰直角三角形的三角板的一个顶点处于点O处，两边分别与线段AB、AD交于点E、F，设BE=x．
（1）若三角板的直角顶点处于点O处，如图（2）．求证：OE=OF；
（2）在（1）的条件下，若EF=，求x；
（3）若三角板的锐角顶点处于点O处，如图（3）．
①若DF=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②探究直线EF与正方形ABCD的内切圆的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）∵正方形ABCD，
∴∠AOB=∠EOF=90°，BO=AO=OD，∠OAF=∠OBE=45°，
∴∠AOF=∠BOE，
∴△AOF≌△BOE，
∴OE=OF．

（2）由△AOF≌△BOE得BE=AF，AE=FD=4-x，连接EF；
∵AE²+AF²=EF²，
∴，
∴x²-4x+2=0，
∴，．

（3）①∵∠EOF=∠OBE=45°，
∴∠FOD+∠EOB=∠BEO+∠EOB=135°，
∴∠FOD=∠BEO；
∵∠EBO=∠ODF=45°，
∴△BOE∽△DFO，
∴，
∴．
（2≤x≤4）
②连接EF，
由①知△BOE∽△DFO，
∴，
∵BO=DO，
∴，
∵∠EOF=∠OBE=45°，
∴△EOF∽△EBO，
∴∠FEO=∠OEB．
∴点O到EF、BE的距离相等，O到BE的距离即为正方形内切圆⊙O的半径，
∴直线EF与正方形的内切圆相切．
分析：（1）根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质证明△AOF≌△BOE，从而可得到结论；
（2）根据（1）的结论可以得到BE=AF，用x表示AE，然后利用勾股定理得到关于x的方程，解方程可以求出x；
（3）①由∠EOF=∠OBE=45°可得到∠FOD=∠BEO，证明△BOE∽△DFO，利用对应边成比例就可以求出函数关系式；
②连接EF，根据△BOE∽△DFO得到，而BO=DO，代入比例式中，再根据已知条件现在可以证明△EOF∽△EBO，从而得到∠FEO=∠OEB，然后根据角平分线的性质知道点O到EF、BE的距离相等，也就可以判断直线EF与正方形的内切圆相切了．
点评：此题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定，直线与圆的关系等知识点的综合运用．