Question

如图，∠BAC=30°，点P是∠BAC的平分线上的一点，PD⊥AC于D，PE∥AC交AB于E，已知AE=10cm，求PD的长度．

Answer 1

解：作PF⊥AB于F，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP，
∵PE∥AC，
∴∠EPA=∠PDA，
∴∠BAP=∠EPA，
∴AE=PE=10，
∵∠FEP=∠BAC=30°，
∴PF=PE=5，
∵AP平分∠BAC，PF⊥AB，PD⊥AC，
∴PD=PF，
∴PD=5．
分析：作PF⊥AB于F，根据角平分线的定义可得∠BAP=∠CAP，再根据两直线平行，内错角相等求出∠EPA=∠PDA，从而得到∠BAP=∠EPA，根据等角对等边的性质可得PE=AE，根据两直线平行，同位角相等可得∠FEP=∠BAC，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出PF=PE，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD=PF．
点评：本题考查了角平分线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记性质是解题的关键．