Question

九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形．证明：这九条直线中至少有三条经过同一点．

Answer 1

分析：首先根据抽屉定理证明9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形中至少有5条直线穿过一对边，然后再根据抽屉原理证明至少必有三点经过同一点．

解答：证明：按抽屉原理，9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形，
则至少有5条直线穿过一对边．
又2：3≠1：1，
根据“梯形的面积等于中位线长乘以高”，
可知这5条直线必过正方形的一条对边中点连线上的两定点．
故若5个点不全经过一点，则必经过这条直线上的两点，
再据抽屉原理，至少必有三点经过同一点．

点评：本题主要考查抽屉原理的知识点，解答本题的关键是多次运用抽屉原理进行解答，本题难度较大．