Question

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC、CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=

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，BC-AC=2，求CE的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,线段垂直平分线的性质,勾股定理

专题：证明题

分析：（1）根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ACB=90°，而DC=CB，根据线段的垂直平分线的判定与性质得AB=AD，于是得到∠B=∠D；
（2）设AC=x，则BC=x+2，在Rt△ABC中，利用勾股定理可计算出解得x=3或-5（舍去），即BC=5，由于∠E=∠B，则∠D=∠E，所以CE=5．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵DC=CB，
∴AC垂直平分DB，
∴AB=AD，
∴∠B=∠D；
（2）解：设AC=x，则BC=x+2，
在Rt△ABC中，（x+2）²+x²=（

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）²，
解得x=3或-5（舍去），即BC=5，
∵∠E=∠B，
∴∠D=∠E，
∴CE=CD=BC=5．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理．