Question

如图，P为⊙O外的一点，过点P作⊙O的两条割线，分别交⊙O于A、B和C、D，且AB是⊙O的直径，已知PA=OA=4，AC=CD．
（1）求DC的长；
（2）求cosB的值．

Answer 1

解：（1）连接OC、BC、AD，
∵AC=DC，
∴∠CDA=∠CAD，
又∵∠CAD=∠CBD，∠CDA=∠ACB，
∴∠CBD=∠CBA，
∴∠DBA=2∠CBA，
又∵∠COA=2∠CBA，
∴∠DBA=∠COA，
∴OC∥BD，
设CD=x，
∴CP：CD=OP：OB，
∴CP：x=8：4，
∴CP=2x，
∴CP•PD=AP•BP，
∴2x•（2x+x）=4×（4+4+4），
∴x=2，
即CD=2；

（2）∵OC∥BD，
∴OC：BD=OP：OB，
∴4：BD=（4+4）：4，
∴BD=6，
∴在Rt△ABD中，cosB===．
分析：（1）连接BC、AD、OC．先根据“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，相等的弦所对的圆周角相等”，得∠CDA=∠CAD，再结合圆周角定理、三角形的外角的性质，可证∠DBA=∠COA，从而有OC∥BD．设CD=x，进而可得CP=2x，根据切割线定理即可求CD；
（2）利用（1）中OC∥BD，根据平行线分线段成比例定理可求BD的长，从而在Rt△ABD中，即可求cosB的值．
点评：本题利用了等边对等角、圆周角定理、三角形外角的性质、平行线的判定、平行线分线段成比例定理、切割线定理、三角函数值等知识．