Question

12．直角三角板ABC与AFE的形状大小完全相同，且两直角边分别为3和4，先按如图甲所示位置放置放置，再将
Rt△AEF绕A点按顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图乙，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
（1）求证：AM=AN；
（2）当四边形ABPF是菱形时，求△AMC的面积．

Answer 1

分析 （1）先由△ABC和△AFE的形状大小完全相同得到AB=AF，∠ABC=∠AFE，再根据旋转的性质得∠BAE=∠FAC=α，于是可利用“ASA”证明△ABM≌△AFN，所以AM=AN；
（2）在Rt△ABC中利用勾股定理计算出BC=5，再由菱形性质得AB∥PF，得到∠ANF=∠BAC=90°，接着根据△ABM≌△AFN得到∠AMB=∠ANF=90°，则可根据面积法计算出AM=$\frac{12}{5}$，然后在Rt△AMC中利用勾股定理计算出MC=$\frac{16}{5}$，最后根据三角形面积公式求解．

解答 （1）证明：∵△ABC和△AFE的形状大小完全相同，
∴AB=AF，∠ABC=∠AFE，
∵Rt△AEF绕A点按顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图乙，
∴∠BAE=∠FAC=α，
在△ABM和△AFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠AFN}\\{AB=AF}\\{∠BAM=∠FAN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△AFN（ASA），
∴AM=AN；
（2）在Rt△ABC中，∵AB=3，AC=4，
∴BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵四边形ABPF是菱形，
∴AB∥PF，
∴∠ANF=∠BAC=90°，
∵△ABM≌△AFN，
∴∠AMB=∠ANF=90°，
∵$\frac{1}{2}$AM•BC=$\frac{1}{2}$AB•AC，
∴AM=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
在Rt△AMC中，∵AC=4，AM=$\frac{12}{5}$，
∴MC=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∴S_△AMC=$\frac{1}{2}$AM•MC=$\frac{1}{2}$×$\frac{12}{5}$×$\frac{16}{5}$=$\frac{96}{25}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．旋转有三要素：旋转中心； 旋转方向； 旋转角度．也考查了全等三角形的判定与性质、菱形性质和勾股定理．