Question

已知抛物线y=ax²+（+3a）x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：依题意，得点C的坐标为（0，4），
设点A、B的坐标分别为（x₁，0），（x₂，0），
由ax²+（+3a）x+4=0，
解得x₁=-3，x₂=-，
∴点A、B的坐标分别为（-3，0），（，0），
∴AB=|-+3|，AC==5，BC==，
∴AB²=|-+3|²=-+9，
AC²=25，BC²=+16．
（ⅰ）当AB²=AC²+BC²时，∠ACB=90°，
由AB²=AC²+BC²，
得-+9=25++16，
解得a=-，
∴当a=-时，点B的坐标为（，0），
AB²=，AC²=25，BC²=，
于是AB²=AC²+BC²，
∴当a=-时，△ABC为直角三角形．
（ⅱ）当AC²=AB²+BC²时，∠ABC=90°，
由AC²=AB²+BC²，
得25=-+9++16，
解得a=．
当a=时，-=-=-3，点B（-3，0）与点A重合，不合题意．
＜ⅲ＞当BC²=AC²+AB²时，∠BAC=90°，
由BC²=AC²+AB²，
得25+-+9=+16，
解得a=，
不合题意．
综合＜ⅰ＞、＜ⅱ＞、＜ⅲ＞，当a=-时，△ABC为直角三角形．
分析：可根据抛物线的解析式表示出A、B、C的坐标，然后分别表示出AB、AC、BC的长，可根据∠BAC=90°，∠BCA=90°，∠ABC=90°三种不同情况用勾股定理求出a的值．
点评：本题考查了二次函数的应用、直角三角形的判定和勾股定理等知识．