Question

如图，将腰长为

5

的等腰Rt△ABC（∠C=90°）放在平面直角坐标系中的第二象限，使点C的坐标为（-1，0），点A在y轴上，点B在抛物线y=ax²+ax-2上．
（1）写出点A，B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB′C′的位置．请判断点B′、C′是否在该抛物线上，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据腰长为

5

的等腰Rt△ABC（∠C=90°），由AC=

5

，CO=1，求出AO即可得出A点的坐标，进而得出B点的坐标；
（2）将B点坐标代入y=ax²+ax-2即可得出二次函数解析式；
（3）利用旋转的性质得出Rt△AB′M≌Rt△BAN，进而得出△AC′P≌△CAO，得出B′（1，-1）C′（2，1）代入二次函数解析式求出即可．

解答：解：（1）如图1，做BE⊥x轴，
∵腰长为

5

的等腰Rt△ABC（∠C=90°），
∴AC=

5

，CO=1，∴AO=2，
∴A（0，2），
∵∠ACO=∠EBC，
AC=BC，∠AOC=∠BEC，
∴△ACO≌△CBE，
∴BE=1，EO=3，
∴B（-3，1）；

（2）将B点（-3，1）坐标代入y=ax²+ax-2即可得出二次函数解析式；
解析式为：y=

1

2

x2+

1

2

x-2；

（3）如图2，过点B'作B'M⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，过点C'作C'P⊥y轴于点P．在Rt△AB′M与Rt△BAN中，
∵AB=AB′，∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴B′M=AN=1，AM=BN=3，
∴B′（1，-1）．
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得点C′（2，1）；
当x=1时y=

1

2

x2+

1

2

x-2=-1，
当x=2时y=

1

2

x2+

1

2

x-2=1，
可知点B′、C′在抛物线上．

点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定等知识，注意利用旋转前后图形的性质得出Rt△AB′M≌Rt△BAN，进而得出△AC′P≌△CAO是解决问题的关键．