Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c与y轴交于点C，与x轴交与A、B两点（点A在点B的左侧），且OA=1，OC=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是抛物线在第一象限内的一点，且tan∠EOB=1，求点E的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得△PBE为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）依题意，A（-1，0）、C（0，2），代入y=x²+bx+c中，得：
，
解得
故抛物线的解析式：y=-x²+x+2．

（2）∵点E在第一象限内，且tan∠EOB=1，
∴设点E（x，x）（x＞0），代入抛物线y=-x²+x+2中，得：
-x²+x+2=x，化简，得：2x²-x-6=0
解得：x₁=2，x₂=-（舍）；
故点E的坐标为（2，2）．

（3）由（1）的抛物线解析式知，对称轴：x=1，点B（3，0）；
设点P的坐标（1，m），则：
PB²=（3-1）²+（0-m）²=m²+4，PE²=（2-1）²+（m-2）²=m²-4m+5，BE²=（3-2）²+（0-2）²=5
①若PB=PE，则有：m²+4=m²-4m+5，解得：m=；
②若PB=BE，则有：m²+4=5，解得：m=±1；
③若PE=BE，则有：m²-4m+5=5，解得：m₁=0，m₂=4；
由B（3，0）、E（2，2）知，直线BE：y=-2x+6；
当m=4时，P（1，4）正好在直线BE上，不能构成三角形，故舍去；
综上，存在符合条件的点P，且坐标为（1，）、（1，1）、（1，-1）、（1，0）．
分析：（1）由OA、OC的长，可得到点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）已知tan∠EOB=1，且点E在第一象限，那么可将点A的坐标写作（x，x）（x＞0），将其代入抛物线的解析式中即可求出点E的坐标．
（3）根据（1）的函数解析式能得到其对称轴方程，先设出点P的坐标，在已知点B、E的坐标后，能求出PB、PE、BE三边的长度表达式，然后分①PB=PE、②PB=BE、③PE=BE三种情况，列式求出点P的坐标．
点评：此题主要考查了利用待定系数法确定函数解析式以及等腰三角形的判定和性质；最后一题中，在等腰三角形的腰和底不明确的情况下，要分类进行讨论，此外，还要特别注意应舍去三点共线的情况．