Question

6．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是高，AF是△ABC外角∠CAD的平分线．
（1）用尺规作图：作∠AEC的平分线EN（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）设EN与AF交于点M，判断△AEM的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的作法作∠AEC的平分线EN即可；
（2）先根据题意得出AE平分∠BAC，再由AF是△ABC外角∠CAD的平分线可得出∠EAM=90°，根据EN是∠AEC的平分线可得出∠AEM=45°，据此可得出结论．

解答 解：（1）如图，射线EN即为所求；

（2）△ADF是等腰直角三角形．
在△ABC中，
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC．
∵AF平分∠CAD，
∴∠CAF=$\frac{1}{2}$∠CAD，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠CAD）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∵∠AEC=90°，EN是∠AEC的平分线，
∴∠AEM=45°，
∴∠AME=45°，
∴AE=AM，即△AEM是等腰直角三角形．

点评 本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．