Question

10．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE=BD．试探索以下问题：
（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC=ED．
（2）如图2，当点E不是AB的中点时，过点E作EF∥BC，交AC于点F，求证：△AEF是等边三角形．
（3）在（2）的条件下，EC与ED还相等吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得出AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠A=60°，再由E是AB的中点，AE=BE=BD，证出∠EDB=∠ECB，得出EC=ED；
（2）在△AEF中，只要证明有两个内角是60°即可；
（3）只要证明△DBE≌△EFC，即可推出结论；

解答 证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∵E是AB的中点，
∴AE=BE，∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
∵AE=BD，
∴BE=BD，
∴∠EDB=∠DEB=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴∠EDB=∠ECB，
∴EC=ED．

（2）过E点作EF∥BC交AC于F点．如图2所示：
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
∴△AEF是等边三角形．

（3）ED=EC． 理由如下：
∵△AEF是等边三角形．
∴∠AFE=∠ABC=60°
∴∠EFC=∠DBE=120°，
又∵AE=BD，AB=AC，
∴BD=EF，BE=FC，
在△DBE和△EFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=EF}\\{∠DBE=∠EFC}\\{BE=FC}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴ED=EC．

点评 本题考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．