Question

已知二次函数y₁=x²-2x-1的图象和反比例函数的图象都经过点（1，a）．
（1）求a的值；
（2）试在下图所示的直角坐标系中，画出该二次函数及反比例函数的图象，并利用图象比较y₁与y₂的大小．

Answer 1

解：（1）因为二次函数y₁=x²-2x-1及反比例函数x=1的图象都经过点（1，a），
代入y₁=x²-2x-1，得a=-2．
答：a的值是-2．

（2）把x=1，a=-2代入，
解得k=-2，
∴
画出二次函数y₁=x²-2x-1及反比例函数的图象，
如图所示．
观察图象可知，y₁与y₂有三个交点，
即：大致为（1，-2），（-1，2）和（2，-1），
是否交点可验证．把x=1，y₂=-2，x=-1，y₂=2和x=2，y₂=-1，分
别代入y₁=x²-2x-1和
可知，（1，-2），（-1，2）和（2，-1）是y₁与y₂的三个交点．
根据图象可知：当x＜-1或0＜x＜1或x＞2时，y₁＞y₂；
当x=-1或x=1或x=2时，y₁=y₂；
当-1＜x＜0或1＜x＜2时，y₂＞y₁．
答：如图，利用图象比较y₁与y₂的大小是：
当x＜-1或0＜x＜1或x＞2时，y₁＞y₂；
当x=-1或x=1或x=2时，y₁=y₂；
当-1＜x＜0或1＜x＜2时，y₂＞y₁．
分析：（1）把（1，a）代入二次函数的解析式即可求出a的值；
（2）把（1，-2）代入反比例函数即可求出k的值，即得到反比例函数的解析式，画出图象，根据图象观察得到有3个交点（注意验证），根据图象的大小即可比较y₁与y₂的大小．
点评：本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求反比例函数的解析式，解二元二次方程组等知识点，解此题的关键是观察图象能正确比较y₁与y₂的大小．