Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（-3，0），抛物线顶点P的纵坐标为-4，经过B点的一次函数y=x-1的图象交抛物线于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求当二次函数值小于一次函数值时，x的取值范围；
（3）求△BPD的面积．

Answer 1

解：（1）∵一次函数y=x-1经过B点，
∴当y=0时，x=1，
∴B点坐标为（1，0），
∵A点坐标为（-3，0），抛物线顶点P的纵坐标为-4，
∴抛物线顶点P的坐标为（-1，-4），
∴，
解方程组得．
故抛物线的解析式为y=x²+2x-3；

（2）联立一次函数y=x-1和抛物线的解析式可得，
解得，，
则D点坐标为（-2，-3），
由图象可得当二次函数值小于一次函数值时，x的取值范围为-2＜x＜1；

（3）过点P作PM∥y轴交BD于点M，
则当x=-1时，y=x-1=-2，
则PM=2，
则△BPD的面积=△BPM的面积+△MPD的面积
=×2×（-1+2）+×2×（1+1）
=1+2
=3．
分析：（1）先求出B、D的坐标，由A、B、D三点在抛物线上，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立一次函数y=x-1和抛物线的解析式可求D点坐标，根据图象即可得到x的取值范围；
（3）过点P作PM∥y轴交BD于点M，则△BPD的面积=△BPM的面积+△MPD的面积．
点评：本题考查了解二次函数综合题的方法：先运用待定系数法求出二次函数的解析式，确定各特殊点的坐标，得到有关线段的长，求出三角形的面积，以及解方程组的有关知识．