Question

如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线y=ax²﹣10ax+c经过点C，顶点M在直线BC上．

（1）证明四边形ABCD是菱形，并求点D的坐标；

（2）求抛物线的对称轴和函数表达式；

（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PBD与△PCD的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：

二次函数综合题

分析：

（1）根据两点之间的距离公式，勾股定理，翻折的性质可得AB=BD=CD=AC，根据菱形的判定和性质可得点D的坐标；

（2）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设M的坐标为（5，n），直线BC的解析式为y=kx+b，根据待定系数法可求M的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式；

（3）分点P在CD的上面和点P在CD的下面两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点P的坐标．

解答：

（1）证明：∵A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），

∴AB=6+4=10，AC==10，

∴AB=AC，

由翻折可得，AB=BD，AC=CD，

∴AB=BD=CD=AC，

∴四边形ABCD是菱形，

∴CD∥AB，

∵C（0，8），

∴点D的坐标是（10，8）；

（2）∵y=ax²﹣10ax+c，

∴对称轴为直线x=﹣=5．

设M的坐标为（5，n），直线BC的解析式为y=kx+b，

∴，

解得．

∴y=﹣2x+8．

∵点M在直线y=﹣2x+8上，

∴n=﹣2×5+8=﹣2．

又∵抛物线y=ax²﹣10ax+c经过点C和M，

∴，

解得．

∴抛物线的函数表达式为y=x²﹣4x+8；

（3）存在．

△PBD与△PCD的面积相等，点P的坐标为P₁（，），P₂（﹣5，38）．

点评：

考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：两点之间的距离公式，勾股定理，翻折的性质，菱形的判定和性质，对称轴公式，待定系数法的运用，等底等高的三角形面积相等，分类思想的运用．