Question

已知x₁，x₂，x₃，…，x₁₀都是正整数，x₁+x₂+…+x₁₀=x₁x₂…x₁₀，且其中一个取得最大值，则x₁+x₂+…+x₁₀的值等于（　　）

• A、19
• B、20
• C、21
• D、22

Answer 1

考点：整数问题的综合运用

专题：

分析：根据题意设x₁≤x₂≤…≤x₁₀，然后分别从x₁=x₂=…=x₉=1，最大数为x₁₀，则得出方程9+x₁₀=x₁₀，逐步减少1的个数，增加大于等于2的数的个数，假设出最大数为x₁₀，建立关于x₁₀的方程，求出x₁₀并逐步验证得出答案即可．

解答：解：∵x₁，x₂，x₃，…，x₁₀都是正整数，
设x₁≤x₂≤…≤x₁₀，
①若x₁=x₂=…=x₉=1，则9+x₁₀=x₁₀，此时是解；
②所以至少有两个数大于等于2，x₉=2，x₁₀最大，则8+2+x₁₀=2x₁₀，
解得x₁₀=10，
x₁+x₂+…+x₁₀=1+1+1+…+2+10=20=x₁x₂…x₁₀，
成立，所以x₁₀最大为10，则x₁+x₂+…+x₁₀=20．
③如果至少有三个数大于等于2，x₈=2，x₉=2，x₁₀最大，
则7+2+2+x₁₀=4x₁₀，
无解；
或x₈=2，x₉=3，x₁₀最大，
则7+2+3+x₁₀=4x₁₀，
解得x₁₀=4；
验证是不成立的，由此可以看出，当大于等于2的数多于或等于3个时，最大的数会越来越小，绝对不或超过10．
综上所知，当x₁=x₂=…=x₈=1，x₉=2，x₁₀最大为10的时候成立，
所以x₁+x₂+…+x₁₀=20．
故选：B．

点评：此题属于整数的综合运用题．此题难度较大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．