Question

如所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，E是腰AB上的一点，若△BCE和四边形AECD的面积分别为S₁和S₂，且2S₁=3S₂，求

BE

AE

的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：作EG⊥BC于点G，作AF⊥BC于点F，则△BEG∽△BAF，设AD=x，则BC=3AD=3x，根据2S₁=3S₂，即可求得AF和EG的比值，然后根据相似三角形的性质：对应边的比相等，即可求得BE和AB的比值，进而求解．

解答：解：作EG⊥BC于点G，作AF⊥BC于点F．
设AD=x，则BC=3AD=3x，
则S₁=

1

2

BC•EG=

1

2

×3x•EG=

3

2

EG•x，S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•AF=

1

2

（x+3x）•AF=2AF•x，
S₂=S_梯形ABCD-S₁=2AF•x-

3

2

EG•x，
∵2S₁=3S₂，
∴3EG•x=3（2AF•x-

3

2

EG•x），
则6EG=12AF-9EG，
∴15EG=12AF，
∴

EG

AF

=

3

4

，
∵EG⊥BC，AF⊥BC，
∴AF∥EG，
∴△BEG∽△BAF，
∴

BE

AB

=

EG

AF

=

3

4

，
∴

BE

AE

=3．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正确根据面积公式，以及2S₁=3S₂，求得AF和EG的关系是关键．