Question

如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF．
（1）若AE=2，求EF的长；
（2）求证：PF=EP+EB．

Answer 1

分析：（1）如图由他就可以得出∠EAF=∠DAB=90°，AB=AD，可以得出∠1=∠2，由对顶角可以得出∠5=∠6，从而可以证明△AEB≌△AFD，可以求得AE=AF，再利用勾股定理就可以求出EF的值．
（2）如图，过点A作AM⊥EF于M，由（1）可知△AEF是等腰直角三角形，可以得出∠AME=90°，由已知可以证明△BEP≌△AMP，可以得出BE=AM，EP=MP，进而求出结论．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且BE⊥DP，AF⊥AE，
∴AB=AD，∠BAD=∠EAF=∠BEF=90°，
∴∠1+∠FAB=∠2+∠FAB=90°，
∴∠1=∠2．
∵∠3+∠5=∠4+∠6，且∠5=∠6，
∴∠3=∠4．
在△AEB和△AFD中，
∵

∠2=∠1 AB=AD ∠4=∠3

，
∴△AEB≌△AFD，
∴AE=AF=2，
在Rt△EAF中，由勾股定理，得
EF=

22+22

=2

2

．
（2）过点A作AM⊥EF于M，且∠EAF=90°，AE=AF，
∴△EAF为等腰直角三角形．
∴AM=MF=EM．∠AME=∠BEF=90°．
∵点P是AB的中点，
∴AP=BP．
在△AMP和△BEP中，
∵

∠AME=∠BEP ∠5=∠6 AP=BP

，
∴△AMP≌△BEP，
∴BE=AM，EP=MP，
∴MF=BE，
∴PF=PM+FM=EP+BE．

点评：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质的运用，勾股定理的运用．在证明中涉及一条线段等于两条线段的和时往往要运用截取法．