Question

如图，直线y=kx+1与y轴正半轴交于A，与x轴正半轴交于B，以AB为边作正方形ABCD。

（1）若C（3，m），求m的值；
（2）如图2，连AC，作BM⊥AC于M，E为AB上一点，CE交BM于F，若BE=BF，求证：AC+AE=2AB；

（3）经过B、C两点的⊙O₁交AC于S，交AB的延长线于T，当⊙O₁的大小发生变化时，的值变吗？若不变证明并求其值；若变化，请说明理由。

Answer 1

解：（1）作CH⊥x轴于H，
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，
∵∠AOB=∠ABC=∠BHC=90°，
∴∠ABO=∠BCH，
∴△AOB≌△BHC，
∴BH=OA，OB=CH，
由已知知BH=OA=1，
由C（3，m）知OH=3，
∴OB=OH-BH=3-1=2，
∴CH=OB=2，
∴m=2；
（2）证明：作EN⊥AC于N

 ∵BE=BF，
∴∠BEF=∠BFE=∠CFM，
∵∠ABC=CMB=90°
∴∠ACE+∠CFM=∠BCE+BEF，
∴∠ACE=∠BCE
∴△CEN≌△CEB，
∴NE=BE，NC=BC，
易知△ABC和△ANE均为等腰直角三角形，
∴AN=NE=BE，
∴AC+AE=AB+BC=2AB
∴DE=NE+DN=PE+PC；
（3）不变，
作SM⊥AT于M，SN⊥BC于N，连ST

 ∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BTS=∠BAC=∠BCA=45°
∴MA=MT，
∵△ASM和△SCN均为等腰直角三角形，四边形MBNS为矩形
∴AS=MA，CS=SN=BM，
∴AS-CS=MA-BM=BT，
∴=。