Question

20．如图，矩形ABCO位于直角坐标系平面，O为原点，A、C分别在坐标轴上，B的坐标为（8，5），线段BC上有一动点P，已知点D在第一象限
（1）D是直线y=2x+6上一点，若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标；
（2）D是直线y=2x-6上一点，若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）①点D在直线y=2x+6上，分三种情况进行讨论：①D为直角顶点；②A为直角顶点；③P为直角顶点，分别求出D坐标即可；
（2）点D在直线y=2x-6上，也需分三种情况讨论；①A为直角顶点；②P为直角顶点；③D为直角顶点，分别结合全等三角形的判定和性质进行求出D坐标即可．

解答 解：易知：A（0，6），C（8，0），AB=8，OA=BC=6；
则点A正好位于直线y=2x+6上；
（1）当点D位于直线y=2x+6上时，分三种情况：
①点P为直角顶点，显然此时点D位于第四象限，不合题意；
②点D为直角顶点，那么∠DAP=45°，结合图形2可知：∠DAB＞45°，
而点P位于线段BC上，故不存在这样的等腰直角三角形；
③点A为直角顶点，如图1；
过D作DE⊥y轴于E，则△ADE≌△APB，得：AE=AB=8；
即点D的纵坐标为14，代入y=2x+6中，可求得点D（4，14）；

（2）当点D位于直线y=2x-6上时，分三种情况：
①点A为直角顶点，结合图形2可知，此种情况显然不合题意；
②点D为直角顶点，分两种情况：
（i）点D在矩形AOCB的内部时，如图2，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，设D（x，2x-6）；
则OE=2x-6，AE=6-（2x-6）=12-2x，DF=EF-DE=8-x；
则△ADE≌△DPF，得DF=AE，即：
12-2x=8-x，x=4；
∴D（4，2）；
（ii）点D在矩形AOCB的外部时，设D（x，2x-6）；
则OE=2x-6，AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12，DF=EF-DE=8-x；
同1可知：△ADE≌△DPF⇒AE=DF，即：
2x-12=8-x，x=$\frac{20}{3}$；
∴D（$\frac{20}{3}$，$\frac{22}{3}$）；
③点P为直角顶点，显然此时点D位于矩形AOCB的外部，如图3所示；
设点D（x，2x-6），则CF=2x-6，BF=2x-6-6=2x-12；
易证得△APB≌△PDF，得：
AB=PF=8，PB=DF=x-8；
故BF=PF-PB=8-（x-8）=16-x；
联立两个表示BF的式子可得：
2x-12=16-x，即x=$\frac{28}{3}$；
∴D（$\frac{28}{3}$，$\frac{38}{3}$）；
综合上面六种情况可得：存在符合条件的等腰直角三角形；
且D点的坐标为：（4，2），（$\frac{20}{3}$，$\frac{22}{3}$），（$\frac{28}{3}$，$\frac{38}{3}$）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：点的坐标、矩形的性质、一次函数的应用、等腰直角三角形以及全等三角形等相关知识的综合应用，需要考虑的情况较多，难度较大，熟练掌握性质及运算法则是解本题的关键．