Question

如图（1）已知，矩形ABDC的边AC=3，对角线长为5，将矩形ABDC置于直角坐系内，点D与原点O重合．且反比例函数y=的图象的一个分支位于第一象限．
（1）求点A的坐标；
（2）若矩形ABDC从图（1）的位置开始沿x轴的正方向移动，每秒移动1个单位，1秒后点A刚好落在反比例函数y=的图象的图象上，求k的值；
（3）矩形ABCD继续向x轴的正方向移动，AB、AC与反比例函数图象分别交于P、Q如图（2），设移动的总时间为t（1＜t＜5），分别写出△BPD的面积S₁、△DCQ的面积S₂与t的函数关系式；
（4）在（3）的情况下，当t为何值时，S₂=S₁？

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OA，根据勾股定理求出OC，即可得出答案；
（2）求出A的坐标，把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出k即可；
（3）求出BP，根据三角形的面积公式求出S₁即可；求出t秒后A的坐标，得出Q的横坐标，代入解析式求出Q的纵坐标，求出CQ，根据三角形的面积公式求出S₂即可；
（4）把S₁、S₂代入已知，得出关于t的方程，求出t的值即可．
解答：解：（1）连接OA，OA=5，AC=3，
由勾股定理得：OC===4，
∴点A的坐标是（4，3）．

（2）4+1=5，
∴1秒后点A的坐标是（5，3），
代入y=得：3=，
∴k=15．

（3）∵A在双曲线上时t=1，
∴AP=t-1，
BP=BA-AP=4-（t-1）=5-t，
∴S₁=BP×BD=×（5-t）×3=-t+，
t秒后A的坐标是（4+t，3），
把x=4+t代入y=得：y=，
∴Q的坐标是（4+t，），
∴S₂=×DC×CQ=×4×=，
即S₁=-t+，S₂=

（4）∵S₂=S₁，
∴=×（-t+），
解得：t=3，t=-2（舍去），
当t=3时，S₂=S₁．
点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，点的坐标，三角形的面积，矩形的性质等知识点的应用，熟练的运用性质进行计算是解此题的关键，主要考查了学生的计算能力和运用性质进行推理的能力，题目较好，难度适中．