练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，点D，E分别是矩形OABC中AB和BC边上的中点，点B的坐标为（6，4）
    （1）写出A，C，E，D四点的坐标；并判断点O到直线DE的距离是否等于线段的OE长；
    （2）动点F在线段DE上，FG⊥x轴于G，FH⊥y轴于H，求矩形面积最大时点F的坐标（利用图1解答）；
    （3）我们给出如下定义：分别过抛物向上的两点（不在x轴上）作x轴的垂线，如果以这两点及垂足为顶点的矩形在这条抛物线与x轴围成的封闭图形内部，则称这个矩形是这条抛物线的内接矩形，请你理解上述定义，解答下面的问题：若矩形OABC是某个抛物线的周长最大的内接矩形，求这个抛物线的解析式（利用图2解答）．
    精英家教网
    分析：（1）根据矩形的性质和B点的坐标，易求出A、C、D、E的坐标，易知：CE=BE=3，BD=2，很明显△CDE和△BDE不相似，因此∠CED≠∠BDE，也就是说∠CED+∠BED≠90°，OE与DE不垂直，因此O到ED的距离不等于OE的长；
    （2）矩形的面积实际上是F点横坐标与纵坐标的乘积，因此求出直线DE的解析式是解题的关键．可根据（1）得出的D、E的坐标求出直线DE的解析式，进而可根据矩形的面积公式得出矩形的面积S与F横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出S的最大值及对应的F的坐标；
    （3）本题可先根据B、C的坐标设出抛物线的解析式（使抛物线的待定系数只有二次项一个），假设矩形SPQR是抛物线的任意内接矩形（R、S在抛物线上），可根据抛物线的解析式设出R、S的坐标，即可表示出RS和RP的长，然后根据矩形周长的计算方法可得出关于矩形周长和R、S其中一点横坐标的函数关系式，题中给出了抛物线内接矩形的周长最大时，x应该为6，因此得出的函数的对称轴即为x=6，由此可确定抛物线的二次项系数的值．
    解答：解：（1）A（6，0），D（6，2），E（3，4），C（0，4）
    答：不等于
    理由：连接OE，OD，ED．
    ∵OE2=25，ED2=13，OD2=40
    ∴OE2+ED2≠OD2
    ∴OE与DE不垂直，点O到直线ED的距离不是线段OE的长．
    （证明方法很多，①△ODE的面积为9，求出DE边上的高h=
    18
    		13
    13
    与OE=5的长比较；
    ②在直线DE与x，y轴围成的三角形中，利用等积法，求点O到直线DE的距离
    18
    		13
    13
    与OE比较；
    ③证明△ODE和△EBD不相似，则∠OED≠90°；
    ④延长ED交x轴于P，在Rt△DAP中，tan∠EPO=2：3，而在△QEP中，OE：EP≠2：3，则∠OED≠90°．）

    （2）解法一：
    延长ED交x轴于点H．由已知得△EBD≌△HAD．
    ∴AH=EB=3
    ∴HO=9设OG=m，则HG=9-m．
    由△HAD∽△HGF可得
    HA
    HG
    =
    AD
    GF
    即
    3
    9-m
    =
    2
    GF

    ∴GF=
    2
    3
    （9-m）=-
    2
    3
    m+6
    S矩形OGFH=OG•GF=m（-
    2
    3
    m+6）=-
    2
    3
    m2+6m（3≤m≤6）
    当m=-
    b
    2a
    =-
    6
    2×(-
    2
    3
    )
    =
    9
    2
    时，S矩形OGFH最大
    GF=-
    2
    3
    ×
    9
    2
    +6=3
    ∴点F（
    9
    2
    ，3）．
    解法二：设直线ED的解析式为y=kx+b，由图象经过E，D两点可得：
    2=6k+b
    4=3k+b
    ．
    解得
    k=-
    2
    3
    b=6
    ．
    ∴y=-
    2
    3
    x+6
    设点F的坐标为F（m，n），
    由点F在线段ED上可得：n=-
    2
    3
    m+6
    ∵FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，
    ∴FG=n，FH=m
    ∴S矩形OGFH=mn=m（-
    2
    3
    m+6）=-
    2
    3
    m2+6m（3≤m≤6）
    当m=-
    b
    2a
    当m=-
    b
    2a
    =-
    6
    2×(-
    2
    3
    )
    =
    9
    2
    时，S矩形OGFH最大
    GF=-
    2
    3
    ×
    9
    2
    +6=3
    ∴点F（
    9
    2
    ，3）

    （3）设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）由内接矩形的定义可知：
    此抛物线经过B，C两点，对称轴x=-
    b
    2a
    =3，且c=4
    ∴这个抛物线的解析式为y=ax2-6ax+4
    如图，设矩形SPQR是这个抛物线的任一内接矩形，且点R（x，y）由对称性可知点S（6-x，y）
    ∴RS=2x-6，RQ=y
    又∵点R在这个抛物线上，
    ∴y=ax2-6ax+4
    ∴C矩形SPQR=2（2x-6+y）
    =2（2x-6+ax2-6ax+4）=2ax2+（-4-12a）x-4
    已知可知当x=6时，C矩形SPQR取得最大值．
    ∴-4-12a=
    2
    3
    a
    ∴a=-
    1
    3

    因此，所求抛物线的解析式为y=-
    1
    3
    x2+2x+4．
    点评：本题考查了矩形的性质、二次函数的应用等知识，综合性强，难度较大．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    17、如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD=2AD，那么△ADE的周长：△ABC的周长=
    1：3
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，点E、D分别是正三角形ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且
    BE=CD，DB的延长线交AE于点F，则图1中∠AFB的度数为
     
    ；若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其他条件不变，则∠AFB的度数为
     
    ．（用n的代数式表示，其中，n≥3，且n为整数）
    精英家教网

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•武汉模拟）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，点E、D分别是正三角形ABC中以C点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且BE=CD，DB延长线交于AE于点F，则∠AFB的度数是
    60°
    60°
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案